Question

14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x．
（1）求当x＞0时f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）在R上的图象；
（3）写出它的单调区间．

Answer 1

分析 （1）若 x＞0，则-x＜0，根据x＜0时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x．奇函数满足：f（-x）=-f（x），可得当x＞0时f（x）的解析式；
（2）由（1）可得函数的解析式，结合指数函数的图象和性质，可画出函数f（x）在R上的图象；
（3）由（2）中图象，可得函数的单调区间．

解答 解：（1）若 x＞0，则-x＜0…（1分）
∵当x＜0时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x．
∴f（-x）=（$\frac{1}{2}$）^-x．
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-（$\frac{1}{2}$）^-x=-2^x．…（4分）
（2）∵（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x=0时，f（x）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（\frac{1}{2}）^{x}，x＜0\\ 0，x=0\\-{2}^{x}，x＞0\end{array}\right.$．…（7分）

函数图象如下图所示：

（3）由（2）中图象可得：f（x）的减区间为（-∞，+∞）…（11分）（用R表示扣1分）
无增区间…（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的解析式，函数的图象，分段函数的应用，函数的单调性，难度中档．