题目内容
已知函数f（x）=
，其中a，b不全为0
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）若f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上递增，求实数b的取值范围．
| ax2+bx |
| x3 |
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）若f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上递增，求实数b的取值范围．
考点：函数奇偶性的判断,奇偶性与单调性的综合
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据函数奇偶性的定义进行判断；
（2）根据函数是偶函数求出，a，b的取值，结合函数的单调性进行求解．
（2）根据函数是偶函数求出，a，b的取值，结合函数的单调性进行求解．
解答：
解：（1）f（-x）=
，
若f（-x）=-f（x），
则
=-
，
即ax2-bx=ax2+bx，
即-bx=bx，
即b=0，此时函数为奇函数，
若f（-x）=f（x），
则
=
，
即-ax2+bx=ax2+bx，
即-ax2=ax2，
即a=0，此时函数为偶函数，
若a≠0，b≠0，则函数为非奇非偶函数．
即a=0，b≠0，函数为偶函数，
若b=0，a≠0，则函数奇函数．
若a≠0，b≠0，则函数为非奇非偶函数．
（2）若f（x）为偶函数，由（1）知，a=0，b≠0，
则f（x）=
=
，
若在（0，+∞）上递增，
则b＜0．
| ax2-bx |
| -x3 |
若f（-x）=-f（x），
则
| ax2-bx |
| -x3 |
| ax2+bx |
| x3 |
即ax2-bx=ax2+bx，
即-bx=bx，
即b=0，此时函数为奇函数，
若f（-x）=f（x），
则
| ax2-bx |
| -x3 |
| ax2+bx |
| x3 |
即-ax2+bx=ax2+bx，
即-ax2=ax2，
即a=0，此时函数为偶函数，
若a≠0，b≠0，则函数为非奇非偶函数．
即a=0，b≠0，函数为偶函数，
若b=0，a≠0，则函数奇函数．
若a≠0，b≠0，则函数为非奇非偶函数．
（2）若f（x）为偶函数，由（1）知，a=0，b≠0，
则f（x）=
| ax2+bx |
| x3 |
| b |
| x2 |
若在（0，+∞）上递增，
则b＜0．
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用定义和性质是解决本题的关键．
练习册系列答案
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已知点P（m，n）是直线2x+y+5=0上的任意一点，则m2+n2的最小值为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
| C、5 | ||
| D、10 |
已知集合A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5}，则∁AB=（ ）
| A、{1，3，5} |
| B、{2，4} |
| C、{1，2，3，4，5} |
| D、∅ |
如图所示，凸多面体ABCED中，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=