题目内容
对于集合A={a1，a2，…an}（n≥2，n∈N*），如果a1•a2…•an=a1+a2+…+an，则称集合A具有性质P，给出下列结论：
①集合{
，
}具有性质P；
②若a1，a2∈R，且{a1，a2}具有性质P，则a1a2＞4
③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能具有性质P；
④当n=3时，若ai∈N*（i=1，2，3），则具有性质P的集合A有且只有一个．
其中正确的结论是 ．
①集合{
-1+
| ||
| 2 |
-1-
| ||
| 2 |
②若a1，a2∈R，且{a1，a2}具有性质P，则a1a2＞4
③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能具有性质P；
④当n=3时，若ai∈N*（i=1，2，3），则具有性质P的集合A有且只有一个．
其中正确的结论是
考点：集合的表示法,进行简单的合情推理
专题：
分析：根据已知中性质P的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案．
解答：
解：∵
•
=
+
=-1，故①是正确的；
②不妨设a1+a2=a1a2=t，
则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个根，
由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；
③不妨设A中a1＜a2＜a3＜…＜an，
由a1a2…an=a1+a2+…+an＜nan，得a1a2…an-1＜n，当n=2时，
即有a1＜2，
∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的集合A，故③正确．
当n=3时，a1a2＜3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是具有性质P的集合A只有一个，为{1，2，3}．
当n≥4时，由a1a2…an-1≥1×2×3×…×（n-1），即有n＞（n-1）!，
也就是说具有性质P的集合A存在的必要条件是n＞（n-1）!，事实上，（n-1）!≥（n-1）（n-2）=n2-3n+2=（n-2）2-2+n＞2，矛盾，
∴当n≥4时不存在具有性质P的集合A，故④正确．
故答案为：①③④．
-1+
| ||
| 2 |
-1-
| ||
| 2 |
-1+
| ||
| 2 |
-1-
| ||
| 2 |
②不妨设a1+a2=a1a2=t，
则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个根，
由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；
③不妨设A中a1＜a2＜a3＜…＜an，
由a1a2…an=a1+a2+…+an＜nan，得a1a2…an-1＜n，当n=2时，
即有a1＜2，
∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的集合A，故③正确．
当n=3时，a1a2＜3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是具有性质P的集合A只有一个，为{1，2，3}．
当n≥4时，由a1a2…an-1≥1×2×3×…×（n-1），即有n＞（n-1）!，
也就是说具有性质P的集合A存在的必要条件是n＞（n-1）!，事实上，（n-1）!≥（n-1）（n-2）=n2-3n+2=（n-2）2-2+n＞2，矛盾，
∴当n≥4时不存在具有性质P的集合A，故④正确．
故答案为：①③④．
点评：本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义的含义是解答的关键，难度较大．
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下列四个框图中是结构图的个数是（ ）
| A、1个 | B、2个 | C、3个 | D、4个 |
在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1•a3=25，则a2等于（ ）
| A、5 | B、25 |
| C、-25 | D、-5或5 |
已知α∈（
，π），且tan（α+
）=-
，则sin（2α-π）=（ ）
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 1 |
| 7 |
A、-
| ||||
B、
| ||||
C、-
| ||||
D、
|