Question

已知曲线的方程为：（，为常数）.
（1）判断曲线的形状；
（2）设曲线分别与轴、轴交于点、（、不同于原点），试判断的面积是否为定值？并证明你的判断；
（3）设直线与曲线交于不同的两点、，且，求曲线的方程.

Answer 1

（1）圆；（2）详见解析；（3）.

试题分析：（1）在曲线的方程两边同时除以，并进行配方得到，从而得到曲线的具体形状；（2）在曲线的方程中分别令与求出点、的坐标，再验证的面积是否为定值；（3）根据条件得到圆心在线段的垂直平分线上，并且得到圆心与原点的连线与直线垂直，利用两条直线斜率乘积为，求出值，并利用直线与圆相交作为检验条件，从而确定曲线的方程.
试题解析：（1）将曲线的方程化为，
可知曲线是以点为圆心，以为半径的圆；
（2）的面积为定值.
证明如下：
在曲线的方程中令得，得点，
在曲线方程中令得，得点，
（定值）；
（3）圆过坐标原点，且，
圆心在的垂直平分线上，，，
当时，圆心坐标为，圆的半径为，
圆心到直线的距离，
直线与圆相离，不合题意舍去，
，这时曲线的方程为.