Question

已知半径为5的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．
求：（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？
若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（2）
（3）

试题分析：（1）设圆心为（）,利用直线与圆相切的位置关系，根据点到直线的距离公式列方程解得的值，从而确定圆的方程；
（2）直线与圆交于不同的两点，利用圆心到直线的距离小于圆的半径列不等式从而解出实数的取值范围；
（3）根据圆的几何性质，垂直平分弦的直线必过圆心，从而由两点确定直线的斜率，进一步由两直线垂直的条件确定实数的值.
试题解析：（1）设圆心为（）．
由于圆与直线相切，且半径为，所以，，
即．因为为整数，故．
故所求的圆的方程是．
（2）直线即．代入圆的方程，消去整理，得
．由于直线交圆于两点，
故，即，解得 ，或．
所以实数的取值范围是．
（3）设符合条件的实数存在，由（2）得，则直线的斜率为，
的方程为，即．
由于垂直平分弦，故圆心必在上．
所以，解得．由于，
所以存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.