Question

15．锐角△ABC中，b=1，c=2，则a取值范围为（　　）

• A． （1，3）
• B． $（{1，\sqrt{3}}）$
• C． $（{\sqrt{3}，2}）$
• D． $（{\sqrt{3}，\sqrt{5}}）$

Answer 1

分析 根据余弦定理和锐角的余弦函数大于0可求得a的范围，进而利用两边之差小于第三边，求得a的另一个范围，最后取交集．

解答 解：∵锐角△ABC中，b=1，c=2，
若a是最大边，则0＜cosA＜1．
∴$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1+4-{a}^{2}}{4}$＞0，
∴a＜$\sqrt{5}$．
若c是最大边，必有cosC＞0，
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+1-4}{2×a×1}$＞0，
∴a＞$\sqrt{3}$，
综上，则a取值范围为（$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$）．
故选：D．

点评 本题主要考查了余弦定理的运用．余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题．