Question

如图，抛物线E：y²=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．
（I）若点C的纵坐标为2，求|MN|；
（II）若|AF|²=|AM|•|AN|，求圆C的半径．

Answer 1

【答案】分析：（I）由抛物线的方程表示出焦点F的坐标及准线方程，求出C到准线的距离，再利用圆中弦长公式即可求出|MN|的长；
（II）设C（，y），表示出圆C的方程方程，与抛物线解析式联立组成方程组，设M（-1，y₁），N（-1，y₂），利用韦达定理表示出y₁y₂，利用|AF|²=|AM|•|AN|，得|y₁y₂|=4，解得C的纵坐标，从而得到圆心C坐标，由两点间的距离公式求出|OC|的长，即为圆的半径．
解答：解：（I）抛物线E：y²=4x的准线l：x=-1，
由点C的纵坐标为2，得C（1，2），故C到准线的距离d=2，又|OC|=，
∴|MN|=2==2．
（II）设C（，y），则圆C的方程为（x-）²+（y-y）²=，
即x²-+y²-2yy=0，由x=-1得y²-2yy+1+=0，
设M（-1，y₁），N（-1，y₂），则
，
由|AF|²=|AM|•|AN|，得|y₁y₂|=4，
∴1+=4，解得y=，此时△＞0
∴圆心C的坐标为（，），|OC|²=，
从而|OC|=．
即圆C的半径为．
点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：抛物线的简单性质，韦达定理．其中根据题意确定出圆心与半径是解本题的关键．