Question

如图，抛物线E：y²=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．
（I）若点C的纵坐标为2，求|MN|；
（II）若|AF|²=|AM|•|AN|，求圆C的半径．

Answer 1

（I）抛物线E：y²=4x的准线l：x=-1，
由点C的纵坐标为2，得C（1，2），故C到准线的距离d=2，又|OC|=

5

，
∴|MN|=2

|OC|2-d2

=2

5-4

=2．
（II）设C（

y 20

4

，y₀），则圆C的方程为（x-

y 20

4

）²+（y-y₀）²=

y 40

16

+

y

20

，
即x²-

y 20

2

x+y²-2y₀y=0，由x=-1得y²-2y₀y+1+

y 20

2

=0，
设M（-1，y₁），N（-1，y₂），则

△=4 y 20 -4(1+ y 20 2 )=2 y 20 -4＞0 y1y2= y 20 2 +1

，
由|AF|²=|AM|•|AN|，得|y₁y₂|=4，
∴1+

y 20

2

=4，解得y₀=±

6

，此时△＞0
∴圆心C的坐标为（

3

2

，±

6

），|OC|²=

33

4

，
从而|OC|=

33

2

．
即圆C的半径为

33

2

．