题目内容

如图,抛物线C1y2=4x的焦点到准线的距离与椭圆C2
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的长半轴相等,设椭圆的右顶点为A,C1,C2在第一象限的交点为B,O为坐标原点,且△OAB的面积为
2
6
3

(1)求椭圆C2的标准方程;
(2)过点A作直线l交C1于C,D两点,射线OC,OD分别交C2于E,F两点.
(I)求证:O点在以EF为直径的圆的内部;
(II)记△OEF,△OCD的面积分别为S1,S2,问是否存在直线l,使得S2=3S1?请说明理由.
分析:(1)p=2,得椭圆的长半轴a=2,由S△OAB=
1
2
×|OA|×yB=
2
6
3
,知yB=
2
6
3
.代入抛物线能求出椭圆C2方程.
(2)(I)设直线l的方程为:x=my+2,由
x=my+2
y2=4x
,得y2-4my-8=0,利用韦达定理和向量的数量积导出∠COD>90°,由此能证明O点在以EF为直径的圆的内部.
(II)
S1
S2
=
1
2
|OC|•|OD|sin∠COD
1
2
|OE|•|OF|sin∠EOF
=
|y1|
|yE|
|y2|
|yF|
,直线OC的斜率为
y1
x1
=
4
y1
,故直线OC的方程为x=
y1•y
4
.由此能推导出不存在直线l使得S2=3S1
解答:解:(1)p=2,得椭圆的长半轴a=2,
S△OAB=
1
2
×|OA|×yB=
2
6
3

yB=
2
6
3

代入抛物线求得B(
2
3
2
6
3
)

∴椭圆C2方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(2)(I)设直线l的方程为:x=my+2,
x=my+2
y2=4x
,得y2-4my-8=0,
设C(x1,y1),D(x2,y2),
∴y1+y2=4m,y1y2=-8,
∴x1x2=4,
OC
OD
=x1x2+y1y2=-4<0

∴∠COD>90°,
又∵∠EOF=∠COD,
∴∠EOF>90°,
∴O点在以EF为直径的圆的内部.
(II)
S1
S2
=
1
2
|OC|•|OD|sin∠COD
1
2
|OE|•|OF|sin∠EOF
=
|y1|
|yE|
|y2|
|yF|

直线OC的斜率为
y1
x1
=
4
y1

∴直线OC的方程为x=
y1•y
4

x=
y1•y
4
x2
4
+
y2
3
=1

yE2=
64×3
3y12+64
yF2=
64×3
3y22+64

yE2yF2=
64×32
121+48m

(
S2
S1
)2=
121+48m2
32

∵m∈R,∴
121+48m2
32
112
32
S2
S1
11
3
>3

∴不存在直线l使得S2=3S1
点评:本题考查椭圆方程的求法,考查点在圆的内部的证明,探索满足条件的直线方程是否存在.综合性强,难度大,对数学思维的要求较高.解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理合理运用.
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