Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cos（2x+$\frac{π}{3}$），sinx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}$cos2x．
（1）求函数f（x）的解析式及在[0，2π]的单调增区间；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积公式和两角和与差的正弦和余弦公式，以及二倍角公式，化简即可求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质即可求出答案，
（2）根据正弦函数的单调性即可求出函数的值域．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cos（2x+$\frac{π}{3}$），sinx），
∴函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}$cos2x=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+sin²x-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（1-cos2x）-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得：-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
即f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]（k∈Z）上单调递增，
又x∈[0，2π]，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]，[$\frac{5π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]上单调递增；
（2）由（1）可知，f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上单调递增，
∴f（0）=sin（-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=0，
f（$\frac{π}{3}$）=sin（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，函数f（x）的值域为[0，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了向量的数量积公式和两角和与差的正弦和余弦公式，以及二倍角公式，和正弦函数的性质，属于中档题．