Question

14．已知定义域为A的函数f（x），若对任意的x₁，x₂∈A，都有f（x₁+x₂）-f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）为“定义域上的M函数”，给出以下五个函数：
（1）f（x）=2x+3，x∈R；（2）$f（x）={x^2}，x∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$；（3）$f（x）={x^2}+1，x∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$；（4）$f（x）=sinx，x∈[0，\frac{π}{2}]$；（5）f（x）=log₂x，x∈[2，+∞）．其中是“定义域上的M函数”的
有4个．

Answer 1

分析 根据“定义域上的M函数”的定义，逐一分析给定的函数是否满足定义，即可得到答案．

解答 解：若对任意的x₁，x₂∈A，都有f（x₁+x₂）-f（x₁）≤f（x₂），
即若对任意的x₁，x₂∈A，都有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），
（1）当f（x）=2x+3，x∈R时；
f（x₁+x₂）=2（x₁+x₂）+3
f（x₁）+f（x₂）=2（x₁）+3+2（x₁）+3=2（x₁+x₂）+6，
f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂）恒成立，满足定义；
（2）当$f（x）={x^2}，x∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$时；
f（x₁+x₂）=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$=x₁²+x₂²+2x₁x₂，
f（x₁）+f（x₂）=x₁²+x₂²，
当x₁，x₂异号时，f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂）不成立，不满足定义；
（3）当$f（x）={x^2}+1，x∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$时；
f（x₁+x₂）=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$+1=x₁²+x₂²+2x₁x₂+1，
f（x₁）+f（x₂）=x₁²+x₂²+2，
f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂）恒成立，满足定义；
（4）当$f（x）=sinx，x∈[0，\frac{π}{2}]$时；
f（x₁+x₂）=sin（x₁+x₂）=sinx₁cosx₂+cosx₁sinx₂，
f（x₁）+f（x₂）=sinx₁+sinx₂，
f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂）恒成立，满足定义；
（5）当f（x）=log₂x，x∈[2，+∞）时．
x₁+x₂≤x₁x₂恒成立，
f（x₁+x₂）=log₂（x₁+x₂），
f（x₁）+f（x₂）=log₂x₁+log₂x₂=log₂（x₁x₂），
f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂）恒成立，满足定义；
故答案为：4．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了“定义域上的M函数”的定义，正确理解新定义，是解答的关键．