Question

9．（$\frac{\sqrt{x}}{2}$+$\frac{2}{\root{3}{x}}$）¹⁰的展开式中常数项等于840，有理项有2项．

Answer 1

分析 利用通项公式即可得出．

解答 解：（$\frac{\sqrt{x}}{2}$+$\frac{2}{\root{3}{x}}$）¹⁰的展开式中通项公式：T_r+1=${∁}_{10}^{r}$$（\frac{\sqrt{x}}{2}）^{10-r}$$（\frac{2}{\root{3}{x}}）^{r}$=2^2r-10${∁}_{10}^{r}$${x}^{5-\frac{5r}{6}}$．
令$5-\frac{5r}{6}$=0，解得r=6，可得常数项=${2}^{2}{∁}_{10}^{6}$=840．
令$5-\frac{5r}{6}$=0，1，…5，
解得r=6，$\frac{24}{5}$，$\frac{18}{5}$，$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$，0．
可得有理项：${2}^{2}{∁}_{10}^{6}$，2^-10x⁵．
故答案为：840，2．

点评 本题考查了二项式定理的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．