Question

已知函数f（x）=alnx-

(a+1)x

x+1

，其中a≥0
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论f（x）在其定义域上的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=lnx-

2x

x+1

求出函数的导数，求出切线的斜率，可得切线方程．
（Ⅱ）求出函数f（x）的定义域为（0，+∞），求出函数的导数，通过①当a=0时，②当a＞0时，构造g（x）=ax²+（a-1）x+a（x∈（0，+∞）），利用△的符号推出a的范围，得到函数的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=lnx-

2x

x+1

，f/(x)=

1

x

-

2(x+1)-2x

(x+1)2

=

1

x

-

2

(x+1)2

…（2分）
∴f/(1)=1-

1

2

=

1

2

，又f（1）=-1∴切线方程为y-(-1)=

1

2

(x-1)，
即y=

1

2

x-

3

2

…（5分）
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），
f/(x)=

a

x

-

(a+1)(x+1)-(a+1)x

(x+1)2

=

ax2+(a-1)x+a

x(x+1)2

…（6分）
①当a=0时，f/(x)=-

x

x(x+1)2

=-

1

(x+1)2

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减 …（7分）
②当a＞0时，设g（x）=ax²+（a-1）x+a（x∈（0，+∞））
（a）当△=（a-1）²-4a²=-3a²-2a+1≤0，
即a≥

1

3

时，f′（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增         …（9分）
（b）当△=-3a²-2a+1＞0即0＜a＜

1

3

时，由g（x）=0得x=

1-a± -3a2-2a+1

2a

，
∵（1-a）²-（-3a²-2a+1）=4a²＞0，
∴0＜x1=

1-a- -3a2-2a+1

2a

＜x2=

1-a+ -3a2-2a+1

2a

，
∴当x∈（0，x₁）和（x₂，+∞）时，f′（x）≥0，
当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＜0，
∴f（x）单调递增区间为（0，x₁）和（x₂，+∞），
f（x）单调递减区间为（x₁，x₂）…（12分）
综上，当a=0时，f（x）单调递减区间为（0，+∞）；
当0＜a＜

1

3

时，f（x）单调递增区间为（0，x₁）和（x₂，+∞），单调递减区间为（x₁，x₂）；
当a≥

1

3

时，f（x）单调递增区间为（0，+∞）…（13分）

点评：本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的单调区间的求法，考查分类讨论以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．