Question

已知函数f（x）=（x-a）lnx．
（Ⅰ）若直线y=x+b与f（x）在x=1处相切，求实数a，b的值；
（Ⅱ）若a＞0，求证：f（x）存在唯一极小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切点（1，0），结合切线方程和函数导数，即可得到a，b的值；
（Ⅱ）对f（x）二次求导，判断单调性，结合零点存在定理，即可得证．

解答： （Ⅰ）解：函数f（x）=（x-a）lnx的导数为
f′（x）=

x-a

x

+lnx（x＞0），
由f（1）=0，则切点为（1，0），
代入切线方程，可得b=-1，
由切线斜率为1，则有1=1-a，解得a=0；
（Ⅱ）证明：令g（x）=f′（x）=

x-a

x

+lnx=1+lnx-

a

x

，
由a＞0，g′（x）=

1

x

+

a

x2

＞0，
g（x）在（0，+∞）上递增，即f′（x）在（0，+∞）上递增，
当x∈（0，e-1）时，f′（x）＜0，
f′（1+a²）=

a2+1-a

a2+1

+ln（1+a²）＞0，
f′（x）在（0，+∞）上由唯一的零点x₀，
又由0＜x＜x₀时，f′（x）＜0，x＞x₀时，f′（x）＞0，
则有f（x）有唯一极小值．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值、最值，运用零点存在定理和二次求导数是解题的关键．