Question

3．设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ．
（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于M，N两点，点A（1，0），求$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|NA|}$的值．

Answer 1

分析 （1）由曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得：3t²-8t-16=0，可得|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|NA|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$．

解答 解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，可得直角坐标方程：y²=4x．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程可得：3t²-8t-16=0，
∴t₁+t₂=$\frac{8}{3}$，t₁t₂=-$\frac{16}{3}$．
∴|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{8}{3}）^{2}-4×（-\frac{16}{3}）}$=$\frac{16}{3}$．
∴$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|NA|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\frac{16}{3}}{\frac{16}{3}}$=1．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程及其应用、直线与抛物线相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．