Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=3，4S_n+1=6a_n+1-a_n+4S_n，则数列{a_n}的通项公式为a_n=3•（$\frac{1}{2}$）^n-1，n∈N^•．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系得到2a_n+1=a_n，即数列{a_n}是公比q=$\frac{1}{2}$，首项为a₁=3的等比数列，结合等比数列的通项公式进行求解即可．

解答 解：∵a₁=3，4S_n+1=6a_n+1-a_n+4S_n，
∴4S_n+1-4S_n=6a_n+1-a_n，
即4a_n+1=6a_n+1-a_n，
即2a_n+1=a_n，
则$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
则数列{a_n}是公比q=$\frac{1}{2}$，首项为a₁=3的等比数列，
则数列的通项公式为a_n=3•（$\frac{1}{2}$）^n-1，n∈N^•，
故答案为：a_n=3•（$\frac{1}{2}$）^n-1，n∈N^•

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，利用数列的递推关系判断数列是等比数列是解决本题的关键．