Question

11．在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（-1，0），其倾斜角是α，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程是ρ²=6ρcosθ-5．
（Ⅰ）若直线l和曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；
（Ⅱ）设B（x，y）为曲线C任意一点，求$\sqrt{3}x+y$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C的极坐标方程，可得曲线的直角坐标方程，联立直线l的方程，消去y，运用判别式大于等于0，可得斜率的范围，再由斜率公式，可得倾斜角的范围；
（Ⅱ）求得曲线C的参数方程，运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程转化成直角坐标方程是C：x²+y²-6x+5=0，
由题意知直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x+1），其中k=tanα．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-6x+5=0\;，\;\;\\ y=k（x+1）\;，\;\;\end{array}\right.$
消去y得（1+k²）x²+2（k²-3）x+k²+5=0．
因为直线l和曲线C有交点，所以△=4（k²-3）²-4（1+k²）（k²+5）≥0，
即$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤k≤\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
即$tanα∈[-\frac{{\sqrt{3}}}{3}\;，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{3}]$，
所以$α∈[0\;，\;\;\frac{π}{6}]∪[\frac{5π}{6}\;，\;\;π）$．
（Ⅱ）曲线C：x²+y²-6x+5=0即（x-3）²+y²=4的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=3+2cosθ\;，\;\;\\ y=2sinθ\;，\;\;\end{array}\right.$（θ为参数），
所以点B（x，y）的坐标可以写成（3+2cosθ，2sinθ），
所以$\sqrt{3}x+y=3\sqrt{3}+2sinθ+2\sqrt{3}cosθ=3\sqrt{3}+4sin（θ+\frac{π}{3}）$，
因为sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]，
所以$\sqrt{3}$x+y∈[3$\sqrt{3}$-4，3$\sqrt{3}$+4]．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线和圆的位置关系的判断和应用，注意运用转化思想和判别式大于等于0，考查圆的参数方程的运用和两角和的正弦公式及正弦函数的值域的运用，属于中档题．