Question

4．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为1，点E，F，G分别是线段AB，BC，DD₁的中点，求作过E，F，G三点的截面，并求截面的面积．

Answer 1

分析 设平面EFG与A₁A的交点为M，与C₁C交点为N，则MA=NC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，将截面分解成三个三角形，然后分别求出个三角形的边长，利用余弦定理求出面积．

解答 解：在A₁A和C₁C上分别取点M，N，使得AM=CN=$\frac{1}{6}$，连接EM，MG，GN，NF，FE．
则五边形GMEFN为所求截面．
∵正方体棱长为1，MA=$\frac{1}{6}$，
∴AE=$\frac{1}{2}$，ME=$\sqrt{M{A}^{2}+A{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{6}$，DG=$\frac{1}{2}$，DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，GE=GF=$\sqrt{D{G}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
MG=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}-\frac{1}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos∠EMG=$\frac{M{E}^{2}+M{G}^{2}-G{E}^{2}}{2ME•MG}$=-$\frac{1}{10}$，
cos∠EGF=$\frac{G{E}^{2}+G{F}^{2}-E{F}^{2}}{2GE•GF}$=$\frac{5}{6}$，
∴sin∠EMG=$\frac{3\sqrt{11}}{10}$，sin∠EGF=$\frac{\sqrt{11}}{6}$．
∴S_△GFN=S_△GME=$\frac{1}{2}•ME•MG•sin∠EMG$=$\frac{\sqrt{11}}{12}$，
S_△EGF=$\frac{1}{2}•GE•GF•sin∠EGF$=$\frac{\sqrt{11}}{8}$，
∴截面面积为S_△GFN+S_△GME+S_△EGF=$\frac{7\sqrt{11}}{24}$．

点评 本题考查了立体几何中的几何计算，正确找到M，N两点的位置是关键．