Question

4．已知椭圆W：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0）的一个焦点坐标为$（\sqrt{3}，0）$．
（Ⅰ）求椭圆W的方程和离心率；
（Ⅱ）若椭圆W与y轴交于A，B两点（A点在B点的上方），M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN⊥y轴于N，E为线段MN的中点，直线AE与直线y=-1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求∠OEG的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆W：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0）的一个焦点坐标为$（\sqrt{3}，0）$，求出a，b，由此能求出椭圆W的方程和离心率．
（Ⅱ）设M（x₀，y₀），x₀≠0，则N（0，y₀），E（$\frac{{x}_{0}}{2}$，y₀），从而直线AE的方程为y-1=$\frac{2（{y}_{0}-1）}{{x}_{0}}x$，令y=-1，则C（$\frac{{x}_{0}}{1-{y}_{0}}$，-1），从而G（$\frac{{x}_{0}}{2（1-{y}_{0}）}$，-1），由点M在椭圆P上，得到$\overrightarrow{OE}$⊥$\overrightarrow{EG}$，由此能求出∠OEG．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆W：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0）的一个焦点坐标为$（\sqrt{3}，0）$，
∴a=2，c=$\sqrt{3}$，∴b=$\sqrt{4-3}$=1，
∴椭圆W的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）设M（x₀，y₀），x₀≠0，则N（0，y₀），E（$\frac{{x}_{0}}{2}$，y₀），
又A（0，1），∴直线AE的方程为y-1=$\frac{2（{y}_{0}-1）}{{x}_{0}}x$，
令y=-1，则C（$\frac{{x}_{0}}{1-{y}_{0}}$，-1），
又B（0，-1），G为BC的中点，∴G（$\frac{{x}_{0}}{2（1-{y}_{0}）}$，-1），
∴$\overrightarrow{OE}$=（$\frac{{x}_{0}}{2}，{y}_{0}$），$\overrightarrow{GE}$=（$\frac{{x}_{0}}{2}-\frac{{x}_{0}}{2（1-{y}_{0}）}$，y₀+1），
$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{GE}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$（$\frac{{x}_{0}}{2}$-$\frac{{x}_{0}}{2（1-{y}_{0}）}$）+y₀（y₀+1）
=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4（1-{y}_{0}）}$+${{y}_{0}}^{2}$+y₀，
∵点M在椭圆P上，则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，
∴${{x}_{0}}^{2}$=4-4y₀²，
$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{GE}$=$1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4（1-{y}_{0}）}$=1-y₀-1+y₀=0，
$\overrightarrow{OE}$⊥$\overrightarrow{EG}$，
∴∠OEG=90°．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查解的大小的求法，考查椭圆、直线方程、向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．