Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=2，C=

π

3

．
（1）若△ABC的面积等于

3

，求a，b；
（2）若cosA=

3

3

，求b．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinC的值代入求出ab的值，再由余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，将ab的值代入即可求出a+b的值，由此求得a、b的值．
（2）由cosA=

3

3

，求得 sinA=

6

3

，由正弦定理求得a的值．再求得sinB=sin（A+C） 的值，由

b

sinB

=

c

sinC

，求得b的值．

解答： 解：（1）∵S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab=

3

，∴ab=4①．
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，即4=（a+b）²-12，则a+b=4 ②．
由①②求得 a=b=2．
（2）∵cosA=

3

3

，∴sinA=

6

3

，由正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

，即

a

6 3

=

2

3 2

，求得a=

4 2

3

．
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

6

3

×

1

2

+

3

3

×

3

2

=

3+ 6

6

，
故由

b

sinB

=

c

sinC

，即

b

3+ 6 6

=

2

3 2

，求得b=

2( 3 + 2 )

3

．

点评：此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，属于基础题．