Question

如图，两条相交线段、的四个端点都在椭圆上，其中，直线的方程为，直线的方程为．

（1）若，，求的值；
（2）探究：是否存在常数，当变化时，恒有？

Answer 1

(1)   (2)

试题分析：
(1)联立直线与椭圆方程可以求出的坐标,设出A点的坐标,且满足A点在椭圆上和,即根据AB为角平分线且与x轴垂直可得AP与AQ所在直线的倾斜角互为补角(斜率互为相反数),故两条件联立即可求出m的值.
(2) 联立直线与椭圆方程得到关于的坐标的韦达定理,由(1)这种特殊情况可得满足题意的只可能是,故一一带入验证是否能使得即可.
试题解析：
（1）由，
解得，．            2分
因为，所以．
设，则，
化简得，          5分
又，联立方程组，解得，或．
因为平分，所以不合，故．           7分
（2）设，，由，得．
，，．            9分
若存常数，当变化时，恒有，则由（Ⅰ）知只可能．
①当时，取，等价于，
即，
即，
即，此式恒成立．
所以，存常数，当变化时，恒有．          13分
②当时，取，由对称性同理可知结论成立．
故，存常数，当变化时，恒有．          15分