Question

过椭圆的左顶点作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为，已知.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，若轴上存在一定点，使得，求椭圆的方程.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（I）根据,设直线方程为,
确定的坐标，由确定得到，
再根据点在椭圆上，求得进一步即得所求；
（2）由可设,
得到椭圆的方程为，
由得
根据动直线与椭圆有且只有一个公共点P
得到,整理得.
确定的坐标，
又, 
若轴上存在一定点，使得,那么
可得,由恒成立,故，得解.
试题解析：（1）∵ ,设直线方程为,
令,则,∴,                   2分
∴            3分
∵，∴=,
整理得          4分
∵点在椭圆上,∴,∴             5分
∴即,∴                   6分
（2）∵可设,
∴椭圆的方程为                              7分
由得             8分
∵动直线与椭圆有且只有一个公共点P
∴,即
整理得                            9分
设 则有,
∴                        10分
又,
若轴上存在一定点，使得,
∴恒成立 
整理得,                      12分
∴恒成立,故
所求椭圆方程为                  13分