Question

设定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）已知，过定点的动直线交轨迹于、两点，的外心为．若直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．

Answer 1

（1）；（2）见解析

试题分析：（1）求轨迹的方程，由题意定圆，动圆过点且与圆相切，可知点在圆内，由此可得圆内切于圆，可得，根据椭圆定义可知轨迹为椭圆，故可求出轨迹的方程；（2）求证：为定值，由题意直线斜率不为0，可设直线为， 设点，，由，由根与系数关系得，写出直线的中垂线方程，与直线的中垂线方程，求出点的坐标，即得直线的斜率，从而可得为定值．
试题解析：（1）∵点在圆内 ∴圆内切于圆
∴
∴点的轨迹.的方程为                              5分
（2）由存在 ∴ 直线斜率不为0

设直线为      设点， 


直线的中垂线方程为：
即  ∵ ∴即
即 即
同理可得直线的中垂线方程为：                  7分
∴点的坐标满足

   9分

又∵直线的斜率为 ∴（）               13分