Question

在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B、C的坐标为B(－2，0)，C(2，0)，直线AB，AC的斜率乘积为，设顶点A的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设曲线E与y轴负半轴的交点为D，过点D作两条互相垂直的直线l₁，l₂，这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M，N．设l₁的斜率为k(k≠0)，△DMN的面积为S，试求的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）

试题分析：（1）由于所求动点A满足直线AB，AC的斜率乘积为，所以直接设A的坐标，代入化简整理即得：，注意到△ABC中三个顶点不能共线，所以需去掉与轴相交的点，（2）要求的取值范围，首先求出函数解析式，由题意确定l₁的斜率为k为自变量，因为M 为l₁与曲线E的交点，所以列方程组解出点M坐标，从而得出弦长；同理，只需将代k就可得到，因此△DMN的面积S＝，所以＝，这可以看作关于1＋k²的一个分式函数，即，可以利用函数单调性求出其取值范围.
试题解析：解（1）设顶点A的坐标为(x，y)，则k_AB＝，k_AC＝ 2分
因为k_AB×k_AC＝，所以，  即．（或x²＋4y²＝4）.
所以曲线E的方程为．           4分
（2）曲线E与y轴负半轴的交点为D(0，－1)．
因为l₁的斜率存在，所以设l₁的方程为y＝kx－1， 代入，得
从而 6分
用代k得
所以△DMN的面积S＝ 8分
则＝
因为k≠0且，k≠±2，令1＋k²＝t，
则t＞1，且，t≠5，
从而＝
因为，且，
所以且，
从而且，，
即∈                 10分.