Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别表示三棱锥M-PAB，M-PBC，M-PAC的体积，若f（M）=（

1

2

，2x，y），且

1

x

+

a

y

≥8恒成立，则正实数a的最小值是（　　）

• A、2+

  2

• B、2-

  2

• C、3-2

  2

• D、6-2

  2

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：在三棱锥P-ABC中，可得三棱锥的体积V_P-ABC=

1

3

S_△PAB•PC=

1

3

×

1

2

×3×2×1=1，得到4x+2y=1．利用基本不等式可得

1

x

+

a

y

=（4x+2y）（

1

x

+

a

y

）≥4+2a+4

2a

，当且仅当y=

2a

x取等号．又

1

x

+

a

y

≥8恒成立，可得4+2a+4

2a

≥8，即可解得正实数a的最小值．

解答：解：在三棱锥P-ABC中PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．
∴V_P-ABC=

1

3

S_△PAB•PC=

1

3

×

1

2

×3×2×1=1
∴

1

2

+2x+y=1，化为4x+2y=1．
∵a＞0，x＞0，y＞0．
∴

1

x

+

a

y

=（4x+2y）（

1

x

+

a

y

）=4+2a+

2y

x

+

4ax

y

≥4+2a+4

2a

，当且仅当y=

2a

x取等号．
又

1

x

+

a

y

≥8恒成立，∴4+2a+4

2a

≥8，解得a≥3-2

2

．
故a的最小值是3-2

2

．
故选：C．

点评：本题考查了三棱锥的体积、基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化，属于难题．