Question

4．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-5x-6，x＜4\\ 2-{log_2}x，x≥4\end{array}\right.$
（1）求f（x）的零点；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）分两段讨论函数的零点，再取并集；
（2）运用二次函数和对数函数的图象和性质确定分段函数的值域．

解答 解：（1）因为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-5x-6，x＜4\\ 2-{log_2}x，x≥4\end{array}\right.$，
所以，函数的零点需分类如下：
①当x＜4时，令f（x）=x²-5x-6=0，
解得x=-1，或x=6（舍去），
②当x≥4时，f（x）=2-log₂x=0，
解得x=4，符合题意，
因此，函数f（x）的零点为：4和-1；
（2）函数的值域分段讨论如下：
①当x＜4时，令f（x）=x²-5x-6=（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{49}{4}$，
此时，f（x）∈[-$\frac{49}{4}$，+∞）；
②当x≥4时，f（x）=2-log₂x在[4，+∞）上单调递减，
此时，f（x）∈（-∞，0]，
综合以上讨论得，函数f（x）的值域为R．

点评 本题主要考查了分段函数零点的求解，以及值域的确定，运用了二次函数的图象和性质，属于中档题．