Question

13．已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2．一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．（用两种方法）
方法一：以直线l所在直线为x轴，过F与l垂直的直线为y轴
方法二：以过F与l垂直的直线为y轴，过F与y轴垂直的直线为x轴．

Answer 1

分析 建立坐标系，取曲线上任意一点（x，y）（y＞0），利用曲线上的每一点到l的距离与这点到点F（0，2）的距离的差是2，可得方程，化简可得曲线的方程．

解答 解：（1）以直线l所在直线为x轴，过F与l垂直的直线为y轴，则F（0，2）
取曲线上任意一点M（x，y）（y＞0）
∵曲线上的每一点到x轴的距离与这点到点F（0，2）的距离的差是2，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$-y=2
∴x²=8y（y＞0）．
（2）以过F与l垂直的直线为y轴，过F与y轴垂直的直线为x轴，则F（0，0）
，l：y=-2，
取曲线上任意一点M（x，y）
∵曲线上的每一点到y=-2的距离减去这点到点F（0，0）的距离的差是2，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=y+4
∴x²=8（y+2）．

点评 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系，本题利用直接法求解，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．