Question

已知函数f（x）=2x+lnx．
（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在区间[1，e]上的值域．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，再由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）求出导数，注意函数的定义域，考虑导数的符号，即可得到；
（3）运用函数的单调性，即可得到值域．

解答： 解：（1）函数f（x）=2x+lnx的导数f′（x）=2+

1

x

（x＞0），
∴f′（1）=2+1=3，f（1）=2，即曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3，切点为（1，2），
所以该切线方程为y-2=3（x-1）即为y=3x-1；
（2）由于f′(x)=2+

1

x

(x＞0)，
又x＞0，故f′（x）＞0，
所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
（3）由（2）知，f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）_min=f（1）=2，f（x）_max=f（e）=2e+1．
所以f（x）的值域为[2，2e+1]．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，以及最值，考查函数的单调性及运用，考查运算能力，属于中档题．