Question

16．已知数列{a_n}的首项a₁=1，且满足a_n+1-a_n≤2ⁿ，a_n-a_n+2≤-3×2ⁿ，则a₂₀₁₇=2²⁰¹⁷-1．

Answer 1

分析 a_n+1-a_n≤2ⁿ，可得a_n+2-a_n+1≤2ⁿ⁺¹，又a_n-a_n+2≤-3×2ⁿ，可得a_n+1-a_n≥2ⁿ，于是a_n+1-a_n=2ⁿ，再利用“累加求和”方法即可得出．

解答 解：∵a_n+1-a_n≤2ⁿ，
∴a_n+2-a_n+1≤2ⁿ⁺¹，又a_n-a_n+2≤-3×2ⁿ，∴a_n+1-a_n≥2ⁿ，
∴2ⁿ≤a_n+1-a_n≤2ⁿ，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-1+…+2+1
=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．
∴a₂₀₁₇=2²⁰¹⁷-1．
故答案为：2²⁰¹⁷-1

点评 本题考查了递推关系、不等式的性质、“累加求和”方法、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．