Question

设n为正整数，由数列1，2，3，…n分别求相邻两项的和，得到一个有n-1项的新数列；1+2，2+3，3+4，…（n-1）+n即3，5，7，…2n-1．对这个新数列继续上述操作，这样得到一系列数列，最后一个数列只有一项．（1）记原数列为第一个数列，则第三个数列的第2项是

 

（2）最后一个数列的项是

 

．

Answer 1

考点：数列的概念及简单表示法

专题：等差数列与等比数列

分析：首先用第二个数列的第2项加上第二个数列的第3项，求出第三个数列的第2项是多少即可；然后由题意可知最后一个数列的项an=2an-1+2n-2（n≥2，n∈N^*），即

an

2n

=

an-1

2n-1

+

1

4

，即数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

1

4

的等差数列，进而求出最后一个数列的项即可．

解答： 解：第三个数列的第2项是：5+7=12；
由题意可知最后一个数列的项an=2an-1+2n-2（n≥2，n∈N^*），
即

an

2n

=

an-1

2n-1

+

1

4

，
所以数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

1

4

的等差数列；
则

an

2n

=

1

2

+

1

4

(n-1)=

n+1

4

，
所以a_n=（n+1）•2^n-2（n∈N^*），
即最后一个数列的项是 （n+1）•2^n-2（n∈N^*）．
故答案为：12；（n+1）•2^n-2（n∈N^*）．

点评：本题主要考查了等差数列性质的运用，考查了构造法的运用，属于中档题，解答此题的关键是构造并判断出数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

1

4

的等差数列．