Question

已知△ABC的边AB所在直线的方程为x-3y-6=0，M（2，0）满足

BM

=

MC

，点T（-1，1）在AC边所在直线上且满足

AT

•

AB

=0．
（1）求AC边所在直线的方程．
（2）求△ABC外接圆的方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的性质

专题：直线与圆

分析：（1）利用相互垂直的正弦斜率之间的关系可得直线AC的斜率，再利用点斜式即可得出；
（2）利用直角三角形的外接圆的性质可知：斜边的中点即为外接圆的圆心，求出交点A的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出半径．

解答： 解：（1）∵

AT

•

AB

=0，
∴AT⊥AB，又T在AC上，
∴AC⊥AB，△ABC为直角三角形，
又AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，
∴直线AC的斜率为-3．
又∵点T（-1，1）在直线AC上，
∴AC边所在直线的方程为y-1=-3（x+1），即3x+y+2=0．
（2）AC与AB的交点为A，
∴由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

，解得点A的坐标为（0，-2），
∵

BM

=

MC

，
∴M（2，0）为Rt△ABC斜边上的中点，即为Rt△ABC外接圆的圆心，
又r=|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

．
从而△ABC外接圆的方程为（x-2）²+y²=8．

点评：本题考查了相互垂直的正弦斜率之间的关系、点斜式、直角三角形的外接圆的性质、直线的交点、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．