Question

已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜

1

2

，则不等式f（x）＜

x

2

+

1

2

的解集为

 

．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：函数思想,导数的概念及应用

分析：构造函数g（x）=f（x）-（

1

2

x+

1

2

），x∈R；
利用g′（x）判定g（x）的单调性，从而求出不等式f（x）＜

1

2

x+

1

2

的解集．

解答： 解：根据题意，设g（x）=f（x）-（

1

2

x+

1

2

），x∈R；
∴g′（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
∴g（x）在R上是单调减函数；
又∵g（1）=f（1）-（

1

2

+

1

2

）=0，
∴当x＞1时，g（x）＜0恒成立，
即f（x）＜

1

2

x+

1

2

在x＞1时恒成立，
∴原不等式的解集是（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．

点评：本题考查了求不等式的解集的问题，解题时应构造函数，由导数判定函数的单调性并求出不等式的解集，
是基础题目．