Question

如图所示，点A，B是圆O上的两点，∠AOB=120°，点D是圆周上异于A，B的任意一点，线段OD与线段AB交于点C．若

OC

=m

OA

+n

OB

，则m+n=

 

；若

OD

=μ

OA

+λ

OB

，则μ+λ的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：利用A，C，B三点共线，

OC

=m

OA

+n

OB

，可得m+n的值，利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，即可得出结论．

解答： 解：∵A，C，B三点共线，

OC

=m

OA

+n

OB

，
∴m+n=1，
设∠AOD=α（0°＜α＜120°），则∠BOD=120°-α，
∵

OD

=μ

OA

+λ

OB

，
∴

OA

•

OD

=μ

OA

•

OA

+λ

OB

•

OA

，

OD

•

OB

=μ

OA

•

OB

+λ

OB

•

OB

，
∴cosα=μ-

λ

2

，cos（120°-α）=-

μ

2

+λ，
∴μ+λ=2[cosα+cos（120°-α）]=2（

1

2

cosα+

3

2

sinα）=2sin（α+30°），
∵0°＜α＜120°，
∴30°＜α+30°＜150°，
∴

1

2

＜sin（α+30°）≤1，
∴μ+λ∈（1，2]
故答案为：1；（1，2]．

点评：本题考查三点共线，考查向量的数量积公式、辅助角公式，属于中档题．