Question

12．海曲市某中学的一个社会实践调查小组，在对中学生的良好“光盘习惯”的调查中，随机发放了120份问卷，对回收的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：

	做不到光盘	能做到光盘	合计
男	45	10	55
女	30	15	45
合计	75	25	100

（Ⅰ）现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记录其中能做到光盘的问卷的份数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）如果认为良好“光盘行动”与性别有关犯错误的概率不超过P，那么根据临界值表最精确的P的值应为多少？请说明理由．
附：独立性检验统计量Χ$\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}=\frac{{n（n\begin{array}{l}{\;}\\{11}\end{array}n\begin{array}{l}{\;}\\{22}\end{array}-n\begin{array}{l}{\;}\\{12}\end{array}n\begin{array}{l}{\;}\\{21}\end{array}）\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}}}{{n\begin{array}{l}{\;}\\{1+}\end{array}n\begin{array}{l}{\;}\\{2+}\end{array}n\begin{array}{l}{\;}\\{+1}\end{array}n\begin{array}{l}{\;}\\{+2}\end{array}}}，其中n=n\begin{array}{l}{\;}\\{11}\end{array}+n\begin{array}{l}{\;}\\{12}\end{array}+n\begin{array}{l}{\;}\\{21}\end{array}+n\begin{array}{l}{\;}\\{22}\end{array}$．
独立性检验临界值表：

P（X2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k0	1.323	2.072	2.706	3841	5.024

Answer 1

分析 （Ⅰ）按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，则抽取到做不到光盘的人数为6人，能做到光盘的人数为3人，由题意ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（Ⅱ）求出X²=$\frac{100}{33}≈3.03$，由2.706＜3.03＜3.841，得到能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘行动”与性别有关，即精确值应为0.10．

解答 解：（Ⅰ）按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，
则抽取到做不到光盘的人数为：30×$\frac{9}{45}$=6人，能做到光盘的人数为：15×$\frac{9}{45}$=3人，
由题意ξ的可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{6}^{4}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{5}{42}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{6}^{3}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{10}{21}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{5}{14}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{21}$，
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{42}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{1}{21}$

∴Eξ=$0×\frac{5}{42}+1×\frac{10}{21}+2×\frac{5}{14}+3×\frac{1}{21}$=$\frac{4}{3}$．
（Ⅱ）X²=$\frac{100（45×15-30×10）^{2}}{55×45×25×75}$=$\frac{100}{33}≈3.03$，
∵2.706＜3.03＜3.841，
∴能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘行动”与性别有关，即精确值应为0.10．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查独立检验的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．