Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=

1

4

，an+bn=1，bn+1=

bn

1-an2

（1）求b₁，b₂，b₃，b₄的值，并求数列{b_n}的通项公式
（2）设S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，求实数a为何值时，4aS_n＜b_n恒成立．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）bn+1=

bn

1-(1-bn)2

=

1

2-bn

，由此能求出b₁，b₂，b₃，b₄的值和数列{b_n}的通项公式．
（2）由an=

1

n+3

，得S_n=

n

4(n+4)

，从而4aSn-bn=

an

n+4

-

n+2

n+3

=

(a-1)n2+(3a-6)n-8

(n+3)(n+4)

，由条件可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立，设f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8，由此能推导出4aSn＜b恒成立．

解答： 解：（1）bn+1=

bn

1-(1-bn)2

=

1

2-bn

，
∵a1=

1

4

，b1=

3

4

，
∴b2=

4

5

，b3=

5

6

，b4=

6

7

，
∵a1=

1

4

，an+bn=1，bn+1=

bn

1-an2

，
∴1-an+1=

1-an

1-an2

，
化简得

1

an+1

-

1

an

=1，而

1

a1

=4，
∴an=

1

n+3

，
从而bn=1-an=

n+2

n+3

．
（2）∵an=

1

n+3

，
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_n•a_n+1
=

1

4×5

+

1

5×6

+…+

1

(n+3)(n+4)

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

，
∴4aSn-bn=

an

n+4

-

n+2

n+3

=

(a-1)n2+(3a-6)n-8

(n+3)(n+4)

，
由条件可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立，
即可满足条件，
设f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8
当a=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立
当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立
当a＜1时，对称轴是-

3(a-2)

2(a-1)

＜0f（n）在[1，+∞）为单调递减函数，
f（1）=4a-15＜0，∴a＜

15

4

，而a＜1，∴当a＜1时恒成立．
综上知a≤1时，4aSn＜b恒成立．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式恒成立的推导，是中档题，解题时要注意构造法的合理运用．