Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄分别是等比数列{b_n}的b₂，b₃，b₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意自然数n均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₄的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）依题意，a₂，a₅，a₁₄成等比数列⇒（1+4d）²=（1+d）（1+13d），可求得d，继而可求得数列{a_n}的通项公式；由b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，可求得q与其首项，从而可得数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n-1，b_n=3^n-1，由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，可求得c₁=b₁a₂=3，

cn

bn

=a_n+1-a_n=2（n≥2），于是可求得数列{c_n}的通项公式，继而可求得c₁+c₂+…+c₂₀₁₄的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，
∵a₂，a₅，a₁₄成等比数列，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
又b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
∴q=3，b₁=1，
∴b_n=3^n-1．
（Ⅱ）∵

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，
∴

c1

b1

=a₂，即c₁=b₁a₂=3，
又

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=a_n（n≥2），
∴

cn

bn

=a_n+1-a_n=2（n≥2），
∴c_n=2b_n=2•3^n-1（n≥2），
∴c_n=

3，(n=1) 2•3n-1(n≥2)

．
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₄=3+2•3+2•3²+…+2•3²⁰¹³
=3+2（3+•3²+…+3²⁰¹³）
=3+2•

3(1-32013)

1-3

=3²⁰¹⁴．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，考查逻辑思维与综合分析、运算能力，属于难题．