Question

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆被直线：x-

3

y+4=0截得的弦长为2

3

．
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）若斜率为2的直线l与圆O相交于A，B两点，且点D（-1，0）在以AB为直径的圆的内部，求直线L在y轴上的截距的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设x²+y²=r²，由已知条件求出r=

7

，由此能求出圆的方程为x²+y²=7．
（Ⅱ）设斜率为2的直线l的方程：y=2x+b，与圆O相交于A，B两点，联立

x2+y2=7 y=2x+b

，得5x²+4bx+b²-7=0，由此能求出直线l在y轴上的截距的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设x²+y²=r²，
圆心（0，0）到直线：x-

3

y+4=0的距离d=2，
又截得的弦长为2

3

，
所以r=

7

，圆的方程为x²+y²=7．（4分）
（Ⅱ）设斜率为2的直线l的方程：y=2x+b，
与圆O相交于A，B两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

x2+y2=7 y=2x+b

，得5x²+4bx+b²-7=0，

△=140-4b2＞0 x1+x2=- 4b 5 x1x2= b2-7 5

（5分）
已知点D（-1，0）在以AB为直径的圆的内部，所以

DA

•

DB

＜0

DA

•

DB

=(x1+1，y1)•(x2+1，y1)=5xxx2+(2b+1)(x1+x2)+b2+1（10分）
=

2b2

5

-

4b

5

-6＜0，解得-3＜b＜5，满足△＞0，
所以直线l在y轴上的截距的取值范围为（-3，5）．（12分）

点评：本题考查圆的方程的求法，考查直线在y轴上截距的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．