Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）请写出数列{a_n}的前n项和S_n公式，并推导其公式；
（2）若a_n=n，数列{a_n}的前n项和为S_n，求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）等差数列的前n项和公式为Sn=

n(a1+an)

2

，利用倒序相加法进行证明．
（2）由已知条件推导出

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂项求和法能求出

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

解答： 解：（1）Sn=

n(a1+an)

2

或Sn=na1+

n(n-1)

2

d．（注：只要写对其中一个公式即可）（2分）
证明：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵S_n=a₁+a₂+…+a_n，…（3分）
∴S_n=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n-1）d]，①…（4分）
S_n=a_n+（a_n-d）+（a_n-2d）+…+[a_n-（n-1）d]，②…（5分）
由①+②得：2S_n=

(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)

n个(a1+an)

…（6分）
=n（a₁+a_n）．…（7分）
所以Sn=

n(a1+an)

2

．…（8分）
（注：由于推导等差数列前n项和S_n公式的方法比较多，其它方法按相应的步骤给分）
（2）∵a_n=n，∴a₁=1，Sn=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，…（9分）
∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），…（10分）
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]…（11分）
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．…（12分）

点评：本题考查等差数列前n项和的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要注意倒序相加法和裂项求和法的合理运用．