Question

已知函数f（x）=x²，g（x）=x-1．
（1）若不等式f（x）＞bg（x）对任意的实数x恒成立，求实数b的取值范围；
（2）设F（x）=f（x）-mg（x）+1-m-m²，且|F（x）|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将不等式恒成立转化为x²-bx+b＞0，再利用二次函数的性质得△＜0，即可解出实数b的取值范围；
（2）先求得F（x）=x²-mx+1-m²，再对其对应方程的判别式分△≤0和当△＞0两种情况，分别找到满足|F（x）|在[0，1]上单调递增的实数m的取值范围，最后综合即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²，g（x）=x-1．
∴若不等式f（x）＞bg（x）对任意的实数x恒成立，
等价为x²-bx+b＞0恒成立，
∴△=b²-4b＜0，
解得0＜b＜4，
∴实数b的取值范围是（0，4）；
（2）由题设得F（x）=x²-mx+1-m²，
对称轴方程为x=

m

2

，△=m²-4（1-m²）=5m²-4，
由于|F（x）|在[0，1]上单调递增，则有：
 ①当△≤0，即-

2 5

5

≤m≤

2 5

5

时，有

m 2 ≤0 - 2 5 5 ≤m≤ 2 5 5

，
解得-

2 5

5

≤m≤0，
 ②当△＞0，即m＜-

2 5

5

或m＞

2 5

5

时，
设方程F（x）=0的根为x₁，x₂（x₁＜x₂），
若m＞

2 5

5

，则

m

2

＞

5

5

，
有

m 2 ≥1 x1＜0 F(0)=1-m2＜0

，
解得m≥2；
若m＜-

2 5

5

，即

m

2

＜-

5

5

，
有x₁＜0，x₂≤0；
得F（0）=1-m²≥0，
即-1≤m≤1，
∴-1≤m＜-

2 5

5

，
综上所述，实数m的取值范围是[-1，0]∪[2，+∞）．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，以及不等式恒成立问题，综合性较强，运算量较大，考查分类讨论的数学思想．