Question

5．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，右顶点为A，上顶点为B．已知|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|，MF₂|=2$\sqrt{2}$，
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，线段PB为直径的圆经过点F₁，经过点F₂的直线l与该圆相切于点M，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的左、右焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），由A（a，0），B（0，b），由两点的距离公式．可得$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2c，再利用b²=a²-c²，e=$\frac{c}{a}$即可得出；
（2）根据（1）中a和c的关系，用c表示出椭圆的方程，设出P点的坐标，根据PB为直径，推断出BF₁⊥PF₁，进而知向量数量积为0，表示出P点坐标，利用P，B求得圆心坐标，则可利用两点间的距离公式分别表示出|TB|，|TF₂|，利用勾股定理建立等式求得c，则椭圆的方程可得．

解答 解：（1）设椭圆的右焦点为F₂（c，0），
由|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|，可得$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2c，
化为a²+b²=3c²．
又b²=a²-c²，∴a²=2c²．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）由（1）可得b²=c²．因此椭圆方程设为$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1．
设P（x₀，y₀），由F₁（-c，0），B（0，c），
可得$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（x₀+c，y₀），$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（c，c）．
由题意可得，$\overrightarrow{{F}_{1}B}$⊥$\overrightarrow{{F}_{1}P}$，
∴$\overrightarrow{{F}_{1}B}$•$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=c（x₀+c）+cy₀=0，
∴x₀+y₀+c=0，①
∵点P在椭圆上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{c}^{2}}$=1．②
联立①②，化为3x₀²+4cx₀=0，
∵x₀≠0，∴x₀=-$\frac{4}{3}$c，
代入x₀+y₀+c=0，可得y₀=$\frac{1}{3}$c．
∴P（-$\frac{4}{3}$c，$\frac{c}{3}$）．
设圆心为T（x₁，y₁），
则x₁=$\frac{-\frac{4}{3}c+0}{2}$=-$\frac{2}{3}$c，y₁=$\frac{\frac{1}{3}c+c}{2}$=$\frac{2}{3}$c．
∴T（-$\frac{2}{3}$c，$\frac{2}{3}$c），
∴r=|TB|=$\sqrt{\frac{4}{9}{c}^{2}+\frac{1}{9}{c}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$c，
|TF₂|=$\sqrt{\frac{25{c}^{2}}{9}+\frac{4{c}^{2}}{9}}$=$\frac{\sqrt{29}}{3}$c，
∵r²+|MF₂|²=|TF₂|²，
∴$\frac{5{c}^{2}}{9}$+8=$\frac{29}{9}$c²，
∴c²=3，
∴a²=6，b²=3，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．