Question

20．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+{2}^{x}（x≤0）}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+\frac{a}{3}（x＞0）}\end{array}\right.$在其定义域上只有一个零点，则实数a的取值范围是a＞16．

Answer 1

分析 先求出f（x）在x＜0时有零点，从而得到f（x）在x＞0时无零点，结合函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：x≤0时：f（x）=x+2^x，
因为f（x）递增，且f（0）=0+2⁰=1，f（-1）=-1+2^-1=-$\frac{1}{2}$，
∴f（-1）•f（0）＜0，
故f（x）在（-1，0）有唯一零点；
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+$\frac{a}{3}$（x＞0）无零点，
因为f′（x）=x²-4，
x∈（0，2），f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（2，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增，
所以极小值f（2）=$\frac{a-16}{3}$＞0，
∴a＞16，
故答案为：a＞16．

点评 本题考察了函数的零点问题，考察函数的单调性问题，是一道中档题．