Question

10．已知椭圆的焦点在x轴，离心率e=$\frac{1}{2}$，短轴长为2$\sqrt{5}$，直线y=x+m与椭圆相交于A、B两点，且|AB|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
（1）求椭圆的方程； 
（2）求m的值．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，可得椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，可得x的方程，运用判别式大于0，韦达定理和弦长公式，解方程即可得到m的值．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，2b=2$\sqrt{5}$，a²-b²=c²，
解得a=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$，b=$\sqrt{5}$，
即有椭圆的方程为$\frac{3{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1；
（2）将直线y=x+m代入椭圆方程可得，
7x²+8mx+4m²-20=0，
判别式为64m²-28（4m²-20）＞0，即为m²＜$\frac{35}{3}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{8m}{7}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-20}{7}$，
弦长|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{8}{7}m）^{2}-\frac{16{m}^{2}-80}{7}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
解得m=±$\frac{\sqrt{9030}}{30}$，检验判别式大于0，成立．
则m=±$\frac{\sqrt{9030}}{30}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查弦长的求法，注意运用联立方程，由韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．