Question

6．中国古代数学家名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE、CDEF为两个全等的等腰梯形，AB=4，EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，若这个刍甍的体积为$\frac{40}{3}$，则异面直线AB与CF所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 利用这个刍甍的体积为$\frac{40}{3}$，求出E到平面ABCD的距离，进而求出CF，CD∥AB，∠FCD为异面直线AB与CF所成角，即可求出异面直线AB与CF所成角的余弦值．

解答 解：取CD，AB的中点M，N，连接FM，FN，
则多面体分割为棱柱与棱锥两个部分，
设E到平面ABCD的距离为h，
则$\frac{1}{2}×4×h×2$+$\frac{1}{3}×4×2×h$=$\frac{40}{3}$，
∴h=2，
∵CN=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$，∴CF=$\sqrt{5+4}$=3，
∵CD∥AB，
∴∠FCD为异面直线AB与CF所成角，
△FCM中，FM=FC=3，CM=2，
∴cos∠FCD=$\frac{9+4-9}{2×3×2}$=$\frac{1}{3}$，
故选A．

点评 本题考查多面体体积的计算，考查异面直线所成角的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．