Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长是焦距的2倍，点（-1，-$\frac{3}{2}$）在椭圆C上，F₁，F₂分别是椭圆C的左、右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C上的动点，直线PF₁，PF₂交椭圆C于A，B两点，$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=λ$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=μ$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，求λ+μ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意知a=2c，b=$\sqrt{3}c$，从而可得$\frac{（-1）^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{（-\frac{3}{2}）^{2}}{3{c}^{2}}$=1，从而解得；
（2）设P（x，y），A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），F₁（-1，0），F₂（1，0）；从而可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{A}=-λ-λx-1}\\{{y}_{A}=-λy}\end{array}\right.$，从而化简可得（2x+5）λ²+（2x+2）λ-3=0，从而解得λ=$\frac{3}{2x+5}$；同理u=$\frac{3}{-2x+5}$，从而解得．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长是焦距的2倍，
∴a=2c，b=$\sqrt{3}c$，
∴$\frac{（-1）^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{（-\frac{3}{2}）^{2}}{3{c}^{2}}$=1，
解得，c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设P（x，y），A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
F₁（-1，0），F₂（1，0）；
∵$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=λ$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{A}+1=-λ-λx}\\{{y}_{A}=-λy}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{A}=-λ-λx-1}\\{{y}_{A}=-λy}\end{array}\right.$，
又∵$\frac{{{x}_{A}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{A}}^{2}}{3}$=1，$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
∴（2x+5）λ²+（2x+2）λ-3=0，
∴λ=$\frac{3}{2x+5}$或λ=-1（舍去）；
又∵$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=μ$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
∴同理可得，
u=$\frac{3}{-2x+5}$，
∴λ+μ=$\frac{3}{2x+5}$+$\frac{3}{-2x+5}$
=$\frac{30}{25-4{x}^{2}}$∈（$\frac{10}{13}$，$\frac{6}{5}$）．

点评 本题考查了椭圆与直线的位置关系的应用及椭圆的标准方程的求法，同时考查了数形结合的思想应用．