Question

已知函数f（x）=x³-x²-x+1，
①若f（x）在区间（a，a+1）上单调递减，求实数a的取值范围．
②若过点P（0，t）可作函数f（x）图象的三条切线，求实数t的取值范围．
③设点A（0，1），m＞0，记点M（m，f（m）），求证：在区间（0，m）内至少有一实数b，使得函数f（x）图象在x=b处的切线平行于直线AM．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：①求出导数，求出单调减区间，由条件可得，区间（a，a+1）包含于减区间，得到不等式，解得即可；
②设出切点，求出切线的斜率，得到切线方程，代入P的坐标，得到方程，并分解，即可得到一个二次方程，运用判别式大于0，解得即可；
③求出直线AM斜率，直求出线在x=b处的切线斜率为f′（b），由切线平行于AM，可令f′（b）=m²-m-1，
考察3b²-2b-m²+m=0在区间（0，m）内的根的情况，令g（b）=3b²-2b-m²+m，求得g（0），g（m），g（

1

3

），对m讨论：当0＜m＜

1

2

时，当

1

2

≤m＜1时，当m≥1时，由零点存在定理，即可得证．

解答： 解：①函数f（x）=x³-x²-x+1的导数为f′（x）=3x²-2x-1=3（x-1）（x+

1

3

），
则f（x）在(-∞，-

1

3

)上增，(-

1

3

，1)上减，（1，+∞）上增，
由于f（x）在区间（a，a+1）上单调递减，
则

a+1≤1 a≥- 1 3

∴-

1

3

≤a≤0；
②设切点为Q(x0，

x

3 0

-

x

2 0

-x0+1)，斜率k=3

x

2 0

-2x0-1，
则切线方程为：y-(

x

3 0

-

x

2 0

-x0+1)=(3

x

2 0

-2x0-1)(x-x0)，
代入P点坐标有：0-(

x

3 0

-

x

2 0

-x0+1)=(3

x

2 0

-2x0-1)(t-x0)，
∴关于x₀的方程-(x0-1)(

x

2 0

-1)=(3x0+1)(x0-1)(t-x0)有三个不等根，
∴方程-(

x

2 0

-1)=(3x0+1)(t-x0)有两个不为1的不等根．
上方程化为：2

x

2 0

-(3t-1)x0+1-t=0．
由△=（3t-1）²-4×2×（1-t）＞0有，t＜-1或t＞

7

9

将x₀=1代入求得t=1，
实数t的取值范围是(-∞，-1)∪(

7

9

，1)∪(1，∞)；
③直线AM的斜率为kAM=m2-m-1，
在x=b处的切线斜率为f′（b）=3b²-2b-1，即3b²-2b-m²-m=0，
考查关于b的方程3b²-2b-m²-m=0在区间（0，m）内的根的情况．
令g（x）=3b²-2b-m²-m，对称轴b=

1

3

g(

1

3

)=-m2+m-

1

3

=-(m-

1

2

)2-

1

12

＜0
∴（1）当0＜m＜

1

2

时，g（0）＞0，g（m）＜0，∴方程g（b）=0区间（0，m）内有一实根；
（2）当

1

2

≤m＜1时，g(0)＞0，g(

1

3

)＜0，∴方程g（b）=0区间(0，

1

3

)内有一实根；
（3）当m≥1时，g(m)＞0，g(

1

3

)＜0，∴方程g（b）=0区间(

1

3

，m)内有一实根．
综上，方程3b²-2b-m²-m=0在区间（0，m）内至少有一实根，
故在区间（0，m）内至少有一实数b，
使得函数f（x）图象在x=b处的切线平行于直线AM．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，求单调区间，考查二次函数的零点问题，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．