Question

如图，在直角△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使得A₁F⊥CD．
（1）求证：A₁F⊥BE；
（2）设线段A₁B的中点为Q，
求证EQ⊥平面A₁BC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由已知易得对折后DE⊥平面A₁DC，即DE⊥A₁F，结合A₁F⊥CD可证得A₁F⊥平面BCDE，再由线面垂直的性质可得结论．
（2）分别取A₁C，A₁B的中点P，Q，先证明A₁C⊥平面DEQ，有A₁C⊥EQ，可证EQ⊥A₁B，A₁C∩A₁B=A，从而可得EQ⊥平面A₁BC．

解答： 证明：（1）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
∴DE⊥AC，∴DE⊥A₁D，
又DE⊥CD，A₁D∩CD=D
∴DE⊥平面A₁DC，
∵A₁F?平面A₁DC，
∴DE⊥A₁F，
又∵A₁F⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE?平面BCDE；
∴A₁F⊥平面BCDE
又∵BE?平面BCDE
∴A₁F⊥BE．
（2）如图，分别取A₁C，A₁B的中点P，Q，则PQ∥BC．∵DE∥BC，
∴DE∥PQ．
∴平面DEQ即为平面DEP．知DE⊥平面A₁DC，
∴DE⊥A₁C，
又∵P是等腰三角形DA₁C底边A₁C的中点，
∴A₁C⊥DP，
∴A₁C⊥平面DEP，从而A₁C⊥平面DEQ，
∴A₁C⊥EQ，
又∵EQ⊥A₁B，A₁C∩A₁B=A
∴EQ⊥平面A₁BC．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，其中熟练掌握空间线面关系的判定及性质，会将空间问题转化为平面问题是解答本题的关键，考察了转化思想，属于中档题．