Question

已知抛物线y²=2x的焦点为F，与准线相切的圆C过点F并与抛物线相交于点M，若|MF|=

5

2

，则圆C的个数为（　　）

• A、8
• B、6
• C、4
• D、2

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意，求出点M的坐标，讨论满足题意的圆C的圆心应在MF的中垂线与抛物线的交点上，求出满足条件的圆C多少即可．

解答： 解：设点M（x，y），
∵抛物线y²=2x的焦点是F（

1

2

，0），准线方程为x=-

1

2

，
∴|MF|=x-（-

1

2

）=

5

2

，
即x=2；
又点M在抛物线上，∴y²=4，解得y=±2，
∴M为（2，2）或（2，-2）；
当M为（2，2）时，圆C与准线相切，且过点F与点M，圆心C应在MF的中垂线与抛物线的交点上，
此时交点有2个，∴圆C有2个；
同理，当M为（2，-2）时，圆C也有2个；
综上，满足条件的圆C有4个．
故选：C．

点评：本题考查了抛物线的定义与几何性质的应用问题，解题的关键是求出点M的坐标，得出圆心C在MF的中垂线与抛物线的交点上．