Question

1．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（x+y）=f（x）f（y），f（1）=3，求不等式f（x）f（x²-3）≤27的解集（$\sqrt{3}$，2]．

Answer 1

分析 根据抽象函数的关系，利用赋值法将不等式进行转化，结合函数的单调性进行求解即可．

解答 解：∵f（x+y）=f（x）f（y），f（1）=3，
∴f（1+1）=f（1）f（1）=3×3=9，
即f（2）=9，
则f（3）=f（1+2）f（1）f（2）=3×9=27，
则不等式，f（x）f（x²-3）≤27等价为f（x+x²-3）≤f（3），
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{{x}^{2}-3＞0}\\{{x}^{2}+x-3≤3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞\sqrt{3}或x＜-\sqrt{3}}\\{-3≤x≤2}\end{array}\right.$，
即$\sqrt{3}$＜x≤2，
即不等式的解集为：（$\sqrt{3}$，2]，
故答案为：（$\sqrt{3}$，2]

点评 本题主要考查不等式的求解，利用抽象函数的定义关系，利用赋值法将不等式进行转化是解决本题的关键．