Question

16．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁满足底面ABCD是边长为10的正方形，AA₁=20，若在长方体内部（包括各面）存在一点P，使得|PA|+|PB|=26，则四棱锥P-ABCD的体积的最大值为400．

Answer 1

分析 由题意画出图形，由题意可得，满足条件的P点在平面ABB₁A₁内，利用椭圆定义求出P的轨迹，得到到AB距离最大的P点到AB的距离为12，即四棱锥P-ABCD的高为12，然后代入棱锥体积公式得答案．

解答 解：如图由题意可知，当P点位于平面ABB₁A₁上时，能使四棱锥P-ABCD的体积最大，
在平面ABB₁A₁内，以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建系，
∵AB=10，且|PA|+|PB|=26＞10，
∴P在以A，B为焦点的椭圆上，
且a=13，c=5，∴b²=a²-c²=13²-5²=12²，
则平面ABB₁A₁内，满足|PA|+|PB|=26，且到AB距离最大的P点到AB的距离为12，
∴四棱锥P-ABCD的体积的最大值为$\frac{1}{3}×10×10×12=400$．
故答案为：400．

点评 本题考查棱锥的体积，考查了数形结合的解题思想方法，利用椭圆定义求出满足条件的P点是解答该题的关键，是中档题．