Question

设函数f（x）=x³-4x+a，0＜a＜2．若f（x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，有以下论断：
①x₁＞-1，
②x₂＜0，
③x₂＞0，
④x₃＞2．
其中正确的序号是

 

．（将你认为正确的论断的所有序号都填上）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，求得各个零点所在的区间，结合特殊函数值f（0）、f（2）和a的范围，再判断出具体的零点范围．

解答： 解：∵函数f （x）=x³-4x+a，0＜a＜2，
∴f′（x）=3x²-4．
令f′（x）=0，可得 x=±

2 3

3

，
当x＜-

2 3

3

或x＞

2 3

3

时，f′（x）＞0；
当-

2 3

3

＜x＜

2 3

3

时，f′（x）＜0；
故函数在（-∞，-

2 3

3

）、（

2 3

3

，+∞）上是增函数，在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上是减函数，
故f（-

2 3

3

）是极大值，f（

2 3

3

）是极小值，
再由f（x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，
可得 x₁＜-

2 3

3

＜x₂＜

2 3

3

＜x₃，
根据f（0）=f（2）=a＞0，且f（

2 3

3

）=a-

16 3

9

＜0，
可得0＜x₂＜

2 3

3

，

2 3

3

＜x₃＜2，
即x₁＜-

2 3

3

＜-1，故①不正确；0＜x₂＜

2 3

3

，故②不正确，③正确；

2 3

3

＜x₃＜2，故④不正确．
故答案为：③．

点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．